例谈探索性问题的求解策略-数学教学论文

上世纪70年代，国际上一些数学教育家认识到，传统的封闭的数学问题不能适应快速发展的经济社会对公民数学素养的要求，于是有利于激发学生好奇心、有利于学生积极参与、有利于培养学生创新能力的探索性问题应用而生．

探索性问题是相对于传统的条件与结论都已给出的封闭性问题而言的，其主要特征是：发散性、探究性、发展性和创新性．探究性问题的条件不完备、结论不确定、过程发散等特性，既决定了它的条件或结论具有较大的开放性，决定了解决问题的思考方向有很大的自由度．探究性问题给考生提供了自主探索与创新的空间，具有训练和培养学生分析问题、解决问题的能力和促进创新思维形成的良好功能．近年来，有特色、有价值的探索性数学问题已成为我国具有时代特色的数学教育改革的一个热点和亮点，也越来越受高考命题者得青睐，本文就目前高中数学新课标范围内所涉及的条件探索、结论探索、存在探索、规律探索等类型探索性问题求解策略例谈如下：

二．条件探索型求解策略

 这类问题的外在形式是给出结论，条件未知需探究，或条件增删需确定，或条件正误需判断．

求解策略：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．

例1、假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？

解析  飞机成功飞行的概率分别为  4引擎飞机为 

    2引擎飞机为  

要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有 

6P²（1–P）²+4P²（1–P）+P⁴≥2P(1–P)+P²,解得P≥  

即当引擎不出故障的概率不小于 时，4引擎飞机比2引擎飞机安全 

例2、如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为 ，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；

（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.

解析：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力. 技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.

（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.

设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，

由题意，有｜CA｜=｜CM｜

∴ ,化简，得

x²=2py

它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线．

（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.

由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0, ）是抛物线的焦点.

∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜

由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点

直线BF的方程为 联立方程组

得 ．即C点坐标为( )，

此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜= ．

二、探索结论型求解策略

这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．

求解策略：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．

例3、设 是公比为 的等比数列， ，令 ，若数列 有连续四项在集合 中，则 =        . 学科网

解析：考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项．

有连续四项在集合 ，四项 成等比数列，公比为 ， = -9

例4、已知数列 满足： （m为正整数）， 若 ，则m所有可能的取值为__________．

解析：（1）若 为偶数，则 为偶, 故

①当 仍为偶数时，   故

②当 为奇数时， ，故 得m=4。

（2）若 为奇数，则 为偶数，故 必为偶数

，所以 =1可得m=5

三．存在判断型求解策略

这类问题是在正确的题设条件下判断某一数学对象是否存在或某一结论是否成立．

求解策略：先假设需要探究的对象存在，以题设条件和这种假设为出发点进行数式运算或逻辑推理，由此推出矛盾，则否定存在；若果不出现矛盾，则肯定存在，给出证明．有时也需要区别不同的情形加以分类讨论．

例5、已知二次函数 ，若 的定义域为 时，值域也是 ，符合上述条件的函数 是否存在？若存在，求出 的表达式；若不存在，请说明理由．

解析：本题是考察二次函数的图像，单调性及值域，以及分类讨论的能力，尤其是涉及到得“动轴定区间”问题要求能熟练掌握．

假设符合条件 存在，∵ 函数图像的对称轴方程是 且 ，∴

①当 ，即 时，函数在 处取最小值 ，

则 ，即 ，解得： 或 （舍去）

②当 ，即 时，

则 ，解得： （舍去）或 （舍去）

②当 ，即 时，函数在 上单调递增，

则 解得：

综上所述，符合条件的函数有两个，是 或 ．

四．探索规律型求解策略

这类问题的基本特征是给出若干具体的数、式、函数等，概括出一般性规律，对材料的加工提炼和运用，对规律归纳和发现能反映出一个人的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力，这类题目意在检测解题者驾驭数学创新意识和才能．

求解策略：要求通过观察、归纳、类比、分析等思维方法，从特殊的情况出发，经过周密的思考，全面的分析，去推得一般的结论，然后再给出严格的证明．

例6、我们知道，在 中，若三边长 ，满足 ，则 是直角三角形．现在请你研究： ，则三角形为何种三角形？请给出你的证明．

解析：先举特例，如 等，再找一般规律，而后加以证明．

先取一些特殊值试探一下，不妨令 ，则 ，画出 ， ， 为边得三角形，易发现 是锐角三角形．上述用赋值法试验的结论是否具有一般性，回答是肯定的，请看下面的证明过程：

∵   ∴  且 ，要证明 是锐角三角形，只需要说明 为锐角，即 ，亦即 ．

，则 在 为上减函数，当 时， ，即 ，从而得 ．

∴   ，故 为锐角，而 为 中最大的角，

∴  一定是锐角三角形．者说明我们的猜想的结论是正确的．