一个三角形分割成两个等腰三角形的条件和分法-数学论文发表

摘要：通过对一个三角形分割成两个等腰三角形的条件的讨论，找到可分割的条件和分法。
关键词：分割线 可分割 直角三角形 等腰三角形
在数学问题中常碰到把一个三角形分割成两个等腰三角形，本文试图通过对这类问题的讨论，找到其中的规律。在文中所讨论的分割都是经过三角形的一个顶点的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，如果存在这样的直线，我们称这样的三角形为可分割；否则称不可分割。这样的直线我们称为分割线。
一、直角三角形是否可分割？
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以直角三角形斜边上的中线一定分这个直角三角形为两个等腰三角形。
结论1：直角三角形是可分割的。直角三角形斜边上的中线为分割线。一般直角三角形的直角顶点只有这样一种分法。特别地，如果直角三角形中有一个锐角为22.5°（或有一个锐角为67.5°），则还有另外一种分法如图：
二、一般三角形是否可分割？
我们先讨论如果经过三角形的一个顶点把一个三角形分成两个等腰三角形时，三角形中的角之间存在怎样的关系。
在 中，不妨设 是其最小的内角。
（1）因为 是三角形中最小的内角，所以不存在过顶点C的分割线。
（2）过顶点 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，那么 与 之间存在怎样的关系呢？设 ， ，过点 的直线交边 于 ．在 中。
①若 是顶角，如图1，则 ， = ， ．此时只能有 ,即 ，∴ ，即 ．
②若 是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，当DB=DC时，则 ，在△ABD 中， ， ．因为△ABD 也是等腰三角形，所以对△ABD 也要分三种情况进行讨论：
1 ．由AB=AD，得 ，此时有 ，即 ．
2 ．由AB=BD，得 ，此时 ，即 ．
3 ．由AD=BD，得 ，此时 ，即 ， 为小于 的任意锐角．
第二种情况，如图3，当BD=BC时， ，因为 为三角形中最小的角，必定为锐角，所以 ，此时△ABD是等腰三角形，只能有AD=BD，从而 ，这与题设 是最小角矛盾． 所以当 是底角时，BD=BC不成立．
（3）类似地，我们可以讨论如果从点A作一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形。
综合上面的讨论，我们可以得到如下结论：
结论2：
在△ABC中， 为最小角，当 满足① ；② ；③ ；④ 这四个条件中的任意一个，即可经过点B画分割线。当 满足① ；② ；③ ；④ 中的一个，即可以经过点A画分割线。
三、等腰三角形是否可分割？
(一)当△ABC是等边三角形时,显然不能分为两个等腰三角形。
(二)当△ABC是腰和底边不相等的等腰三角形时,同样不妨设最小的角为 ，
1.如果最小的角为底角，则这个三角形的另两个角的度数分别为 ， ，根据结论2，可得①当 ， 时，三角形可分割，三角形三个角的度数为45，45，90；②当  ， 时，三角形可分割，三角形三个角的度数为36，36，108；③当  ， 时，三角形可分割，三角形三个角的度数为36，36，108；④当 =90， 时，三角形可分割，三角形三个角的度数为45，45，90。
2.如果最小的角为顶角，则这个三角形的另两个角的度数均为 。根据结论2，可得①当  ， 时，三角形可分割，三角形三个角的度数为 ， ， ；②当  ， 时，三角形可分割，三角形三个角的度数为36，72，72。
综上所述，我们可得：
结论3：等腰三角形的可分割只有四种情况，三个角的度数分别如下①45，45，90：②36，36，108；③ ， ， ；④36，72，72。其中①,②两种情况的分割线经过顶角顶点；③，④两种情况的分割线经过底角顶点。