浅析辩证思想在解决数学问题中的运用

 一、分清整体和局部，用普遍联系的观点看待和解决数学问题
高中数学体系是由多个模块构成的，每个模块都是一个小的知识体系.通常了解一个小知识体系并不是非常困难.但是，如果要真正掌握这个模块的知识就需要与其他模块的知识相联系.比如，三角函数与圆锥曲线、函数与不等式等，都是不同知识体系之间的相互联系.而这种联系就是在解题过程中学生经常感到困惑的环节.
以2009年新课标全国卷（文）12为例：用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值.设f（x）=min{2x，x+2，10-x}（x≥0），则f（x）的最大值为（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
在这道题中，包含着最值、分段函数、指数函数、函数图像等知识点，也只有运用联系的观点，将几部分知识串起来，数形结合，在坐标系中作出三个函数的图像，再分段选取最小值，再在最小值中选出符合题意的最大值，进而求解.
以普遍联系的观点为基础，对数学模块之间的联系进行具体地分析，引导学生分清整体和局部，对解题的成功起着决定性的作用.在解决问题的过程中，要承认因果联系的普遍性和客观性，正确把握数学模块之间和模块中的因果联系.引导学生运用整体和部分相互关系的原理，在学习数学和解决数学问题时要树立整体观念和全局思想，从整体着眼，寻求最佳解题途径；搞好局部，使整体功能得到最大的发挥.
二、运用发展的思想来引导学生深化学习效果，解决复杂问题
每个模块的学习多是由浅入深，由易入难，在学习中，往往会遇到“瓶颈期”的问题，这是在学习时由质变到量变的关键环节，常常有的学生的分数一直悬在不高不低的位置，与尖子生有不小差距，但又高于普通学生，而他们所处的位置就是在突破“瓶颈期”的位置，有时在解决问题时，这种学生往往只差一步或者两步，往往这一两步是“瓶颈期”前后的体现，在瓶颈期前，可能会对某些问题已经较为清晰，但在“瓶颈期”会一知半解，而数学学习就是一种从了解到认识，从认识到遗忘，从遗忘到掌握的螺旋式上升的过程，而并非是直线上升.
以2010年新课标全国卷（文）12为例：已知函数f（x）=|lgx|，0-1[]2x+6，x>10，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）.
A.（1，10） B.（5，6）
C.（10，12）D.（20，24）
该题以分段函数为背景，属于分段函数中较新颖题目，但却是以一道常见题为基础改编的.原题是：
①已知函数f（x）=|lgx|，若a≠b，且f（a）=f（b），则a和b的关系为ab=1.
题①的解法为：分段讨论去掉绝对值后，由对数函数的单调性，可知a和b必为一个大于1，另一个在0和1之间，故得lga=-lgb，从而得解.而以①为基础改编的高考题，用发展的思想来看，是在原题的基础上将函数变为三段，且增加了一个变量.将a，b还看作原题中的a和b，即可得ab=1.再数形结合得出f（c）的范围，进而得c的范围即得解.
在解决数学问题时要引导学生运用运动、变化、发展的眼光看问题，而不是拘泥于眼前所出现的知识点.
三、运用矛盾的观点，对立统一中把握数学
有些学生往往在出错后会说大意失荆州，也就是在细节上出错.这些看似细小的问题，却很影响做题的结果和思维品质的形成.有些学生在解题时只记成题而忽略本质的概念，或者记概念而不知概念因何而来.而在高考这种选拔性考试中，试题往往与成题相异，甚至是背道而驰，但却始终围绕着核心的概念.在这类考试中往往“知甚解”的学生有很大的优势.这就说明，不论是核心知识还是细节问题都是非常重要的，而矛盾分析法的运用可以解决此类问题.
以2010年新课标全国卷（文）16为例：在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=2，∠ADB=135°.若AC=2AB，则BD=2+5.
这道题主要考查三角函数、解三角形的知识.此题计算量较大，而且边角关系较为复杂，需要步步为营，在解题过程中注意提取关键信息，抓住求BD的关键边角，进而运用正余弦公式得出BD长度，求出答项.
在学习数学时要引导学生牢记知识点并弄清知识的本来面目，坚持一分为二的矛盾分析方法.既把握核心知识又要兼顾细节问题.并且在解题中要敢于承认矛盾、揭露矛盾，善于分析矛盾；坚持两分法，一分为二地看问题，防止片面性.不能有成题思想和固定不变的解题模式，反对“一刀切”.运用矛盾分析法把握整体数学.
学习数学和解决数学问题时融入辩证思想，将思维与实践相结合，总结出解题规律和解题思想，在思维上占得解题先机，在解题时运用矛盾分析法规范步骤和逻辑，用哲学方法论指导数学学习和实践，才能使数学学习有章有法.