系统思考在高中数学教学中的应用

案例一 教师职业转换预测问题
在某城市有15万人具有本科以上学历，其中有1.5万人是教师，据调查平均每年有10%的人从教师职业转化为其他职业，又有1%的人从其他职业转化为教师职业，试预测5年后这15万人中还有多少人在从事教师职业.
这是一个简单的差分方程问题，传统的数学解法可以用xn表示第n年后从事教师职业的人数，yn表示第n年后从事其他职业的人数，则有
xn+1=0.9xn+0.01yn，
yn+1=0.1xn+0.99yn.这是含有两个未知数列{xn}，{yn}的一阶线性差分方程组.如果已知初始值x0=1.5，y0=13.5，用迭代法求差分方程的解，把x0=1.5，y0=13.5代入方程组可得x1=1.48，y1=13.52.
通过计算学生们发现教师的人数一直在减少，其他职业的人数一直在增加，但教师人数是不是会一直减少下去而其他职业的人数一直增加呢？这种趋势会不会因为教师和其他职业之间转化率的改变而改变呢？我们通过Stella对教师人数和其他职业人数的长期行为进行了模拟.按照题目设定参数，运行后的结果显示11年后，教师人数和其他职业人数不再发生变化.学生们惊奇地发现，不论教师和其他职业人数的转化率为多少，教师人数和其他职业人数的长期行为都将不会发生改变，系统最终存在稳定状态.
案例二 捕食者与被捕食者系统
在某个生态环境中，猫头鹰以鼠为食.因此，鼠数量增加，猫头鹰数量也会增加，猫头鹰数量的增加，又会使鼠的数量减少.而鼠数量减少，由于食物缺乏猫头鹰的数量还会相应地减少.显然，它们的数量关系是相互制约的.为了更好地研究此生态系统中鼠和猫头鹰的相互制约关系，下面考虑一个简化“鼠—猫头鹰生态模型”.
假设如果没有鼠作食物，每个月只有40%的猫头鹰可以存活；如果没有猫头鹰捕食，鼠的数量每个月会增长20%.如果鼠充足，猫头鹰的数量会增加30%，另外平均每个月一只猫头鹰可以吃掉鼠1000p只，我们把p称为捕食参数，当捕食参数发生变化时，系统也会随之发生变化.如果用xn表示第n年后猫头鹰的数量，yn表示第n年后鼠的数量，则有差分方程
xn+1=0.4xn+0.3yn，
yn+1=-pxn+1.2yn.

如果已知初始值x0和y0，用迭代法求可以求出差分方程的解.但对于p的不同取值，生态系统会发生什么样的变化呢？
首先建立系统模型，尝试p分别取值0.1，0.2，0.3时，STELLA运行结果显示，猫头鹰和鼠的数量呈现出指数增长；而尝试p值为0.4时，运行结果显示猫头鹰和鼠的数量在逐年增加后趋于稳定状态；最后尝试p的取值大于0.4，猫头鹰和鼠的数量先逐年增加，然后不断地减少直至灭绝.
从以上的运行结果学生们清晰地看到，经过充分长的时间之后，当捕食参数小于0.4时，两个种群都会增长，生态系统不断膨胀；当捕食参数等于0.4时，两个种群数量都趋于一个稳定值，生态系统趋于平衡；当捕食参数大于0.4时，两个种群终将灭绝，生态系统崩溃.
我们用情境教学的方法力求每名学生都能在轻松氛围中学到知识，从而激发学生学习的兴趣.以课本知识为基础，设立系统的情境教学，让学生自己发现系统思考的微妙法则，建立系统思考的基本概念，让学生在学中玩儿，在玩儿中学，逐步让教师的教授式学习退出课堂.实践证明，通过系统的思考及Stella的模拟，加深了学生对问题的理解，并进一步明确了变量之间的关系，为提高学生运用系统思考的方法在现实生活中发现问题、解决问题的能力起到了推动作用.
【参考文献】
[1]吴锡军，袁永根.系统思考和决策试验.南京：江苏科学技术出版社，2001.
[2]吴锡军.系统思考与系统动力学教程.南京：江苏科学技术出版社，2009.