高中生数学问题表征能力个案分析

1.研究材料
材料1 设y=x2-10x+26+x2-2x+5，x∈R，求y的最小值.
材料2 有个和尚第一天日出从山底沿着山路时快时慢朝山顶走去，日落时刚好到达山顶.过了几天，他又在日出时沿着同样的路线下山，行走也是时行时歇的.虽然他行走的平均速度较上山快一些，不过也在近日落时到达山脚的.问：和尚在往返的路上是否会有一天中的同一时刻通过同一点？
2.解题实录
材料1解题实录：
甲类同学：这是一个求两个根式和的最小值的问题.刚拿到题目，感觉无处下手，但是尝试将两个根号下进行配方，得到：
y=x-52+0-12+x-12+0-22.
这样我突然想到两点间的距离公式，因此此题可以转换成在x轴上求一点，使它到（5，1）和（1，2）点的距离之和最小.而这类题目只需作出其中一点关于x轴的对称点，然后连接对称点和另外一点与x轴相交的交点的横坐标即可.
同学乙：两个根式的和求最小值的问题，从来没有见这类题.以我已有知识，只能这样做：将每个根式里面进行配方，但是配方后不能继续下去！当第一个取最小值时，第二不取最小值；当第二个取最小值时，第一个不取最小值，这样不知道如何继续下去！
材料2解题实录：
甲类同学：绝对有可能在同一时刻经过同一个地点.我可以把这个问题视作两个和尚同时上山和下山，他们在行进的过程中肯定会在某个时刻在某个地点相遇.
乙类同学：我觉得不可能在同一时刻经过同一个地点.因为题中说过了几天，他又沿着同样路线下山，行走的平均速度较上山快一些，他上山与下山时，日出到日落的时差不相同，因此不可能在同一时刻经过同一个地点.
3.差异分析
（1）表征所用的知识图式上存在着显著差异
优等生头脑中拥有大量的可利用的知识图式，这些图式可以促进问题的表征.优生在表征第1题时，配方以后马上就会想到两点间的距离公式，这种转换能力是建立在非常灵活掌握此部分知识的基础上，而差生不知道这种联系，运用了错误的表征，从而导致解题失败.
（2）表征问题的深度上存在着较大差异
差生不能抓住问题的本质，易被无关信息干扰，往往跳过关键信息，使用无关信息.如差生在表征第2题时，把关注点集中在“下山行走的平均速度较上山快”，而没有注意到“也是近日落时到达山脚的”.而优生能够迅速抓住问题的本质，将问题表征为两个人同时上下山，一定会在途中某个位置相遇.
（3）表征问题时的心理因素存在较大差异
研究表明，学生心理的焦虑水平和问题的解决呈负相关.优生表征问题时沉着冷静，能够做到有条不紊；而差生在表征难以解决的问题时，往往会产生急躁心理，还没等弄明白问题就急着要得出一个答案，甚至不管已知条件是否充足、所选择的策略是否有效，他们就开始胡乱地把已知条件拼凑在一起进行数学运算，结果思维越来越混乱，使问题得不到有效解决.
4.提出对策
（1）突出问题的基本特征
对于一个数学问题来说，我们要善于抓住并突出其基本特征，这是有效表征问题的一个重要途径.只有突出问题的基本特征，同学们的大脑中才会对这个问题的有用信息进行分析，而摒弃掉一些无关紧要的信息，这样才可以为很好地进行表征做好铺垫.
（2）注意表征方法的多样化
我们可以尝试让学生用多种表征方法来思考问题，通过表征多样化练习，从不同的表征方法中寻找最优方法.教师要创造性地使用教材，即注重一题多解、题题多变、多题一解的思维训练，设计一些具有不确定性，非唯一结论的问题，让学生在开放题的探索中，创造性思维得到发展.
（3）帮助学生使用适当的表征方法
同学们对一个数学问题都有自己的表征方法和内容，但是这些内容和方法是参差不齐的，存在一定的差异性，这种差异性因同学们的个性品质、知识结构不同而不同.因此我们应该帮助学生使用适合自己的表征.
（4）示范性表征方法的运用
由于多数教师重视解题过程而忽略表征过程，再加之教师很少向学生讲解常用的表征的方法，致使学生无“法”可依.因此，教师应该在教学中加强示范性表征方法的应用，使同学们做到“有法可依”.通过示范性表征方法的运用，帮助学生建立相应的策略运用模型，从而顺利地解决问题.